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圆锥曲线知识点总结(高中数学椭圆有什么知识点)
2022-09-03 21:12新闻
简介 圆锥曲线有数有形，在高中数学所有章节知识中的学习欢迎度应属靠前。但也因为几何本身的博大精深，这个在亚历山大前期由玩几何的高手——阿波罗尼奥斯创建的数学分支，带给了...
圆锥曲线有数有形，在高中数学所有章节知识中的学习欢迎度应属靠前。但也因为几何本身的博大精深，这个在亚历山大前期由玩几何的高手——阿波罗尼奥斯创建的数学分支，带给了2000多年后面对圆锥曲线学习时的压力山大。
接下来“圆规正传”，回答问题。高中圆锥曲线中有关椭圆的基本知识点、常用结论，以及一些解题思路与方法，小结如下：
一、基本知识点
1、椭圆的两个定义：满足“①到两定点距离之和为常数”或“②到一定点的距离与到一定直线的距离之比e为常数（0<e<1）”的点的轨迹。
2、椭圆的标准方程：考虑焦点在x轴（即长轴在x轴）与y轴（即短轴在y轴）的两种情形。
3、椭圆的几何性质：
①图象
②对称中心（原点）与对称轴（x轴或y轴）
③顶点（a或b）
④焦点（c）
⑤范围（x与y的取值范围）
⑥焦距（|F1F2|=2c）
⑦长轴（2a）与短轴（2b）
⑧离心率（e=c/a）
⑨准线方程（区分焦点在x轴或y轴）
⑩焦准距
4、点与椭圆的位置关系：
①点在椭圆内（<1）
②点在椭圆上（=1）
③点在椭圆外（>1）
5、直线与椭圆的位置关系：
①相离（∆<0，即直线与椭圆联立消一元后的一元二次方程无解）
②相切（∆=0，即直线与椭圆联立消一元后的一元二次方程有相同解）
③相交（∆>0，即直线与椭圆联立消一元后的一元二次方程有两个不同解）
二、常用结论
这里给出了30条结论及其简要的解析过程，供参考，详见图片。
三、一些方法
1、求解椭圆标准方程的一般方法：
①利用定义和几何性质直接求出a、b、c；
②待定系数法：设出椭圆标准方程、或一般方程形式、或椭圆系方程形式，依据已知条件建立关于a、b、c或m、n等关于系数的方程组，解方程组得出系数。
注：应明确焦点在x轴还是y轴。
2、求解椭圆离心率的一般方法：
①利用定义和几何性质直接求出a、c，代入离心率公式得解；
②转化齐次式：依据已知条件构造a、c一元或二元齐次方程，方程两边同时除以a或a方，转化为关于e或e方的一元一次或二次方程，进而得解e值（对于求解e的取值范围同样适用）
③已知焦点三角形的含焦两个内角值，利用正弦定理求解。
3、求解与椭圆有关的取值范围或最值问题应考虑的源不等关系（作为已知条件使用）：
①长短轴：a>b
②离心率：0<e<1（a>c）
③椭圆上任一点横纵坐标范围：-a<=x<=a，-b<=y<=b（焦点在x轴）
④椭圆上任一点到焦点距离范围：a-c<=|PF|<=a+c
⑤点在椭圆内/外：对于标准方程而言，若点在椭圆内，则"="要改为“<”；若点在椭圆外，则"="要改为“>”
⑥直线与椭圆相交：若题干明确给出直线与椭圆相交（两个交点），则联立直线与椭圆方程消一元后得到的一元二次方程满足∆>0
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