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七年级数学有理数单元测试题(初一有理数单元的解题技巧和数学思想方法方面)
2022-09-07 05:10新闻
简介 有理数知识点小结 一、正数和负数的有关概念 （1）正数：比0大的数叫做正数；负数：比0小的数叫做负数；0既不是正数，也不是负数。注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时...
有理数知识点小结
一、正数和负数的有关概念
（1）正数：比0大的数叫做正数；负数：比0小的数叫做负数；0既不是正数，也不是负数。注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）
②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。
（2）正数和负数表示相反意义的量。比如：
零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃ （别忘加单位）
(3) 0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。
0不在仅仅表示没有，也表示实实在在的实物，比如0摄氏度，海拔0米。
二、有理数的概念及分类
有理数是整数和分数的统称。通常有两种分类：
注意：1.引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。2.有限小数和无限循环小数都是分数
总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）
②负整数、0统称为非正整数
③正有理数、0统称为非负有理数
④负有理数、0统称为非正有理数
三、有关数轴
⒈数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）
3.利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；
⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
4.数轴上特殊的最大（小）数
⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；
⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数
5.数轴上点的移动规律
根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。（注意移动方向）
数轴经常和绝对值一起出题，特别是判断绝对值里面的符号。对此，我们一般用赋值法，就是数轴上的字母，根据实际情况给他赋一个具体的数，这样学生在解题时会感觉容易很多。
四、绝对值与相反数和倒数
（1）相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；
⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。
2.相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数，且只有一个；⑵0的相反数是0；
⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0
3.相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4.相反数的求法
⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；
⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）；
⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是
-（-5），化简得5)
5.相反数的表示方法
⑴一般地，数a 的相反数是-a，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。
当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）
当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）
当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）
6.多重符号的化简 （同号为正，异号为负）
多重符号的化简规律若记数单位前面的数是整数,则这个近似数就精确到“记数单位”位;若记数单位前面是小数,要先将这个近似数还原成原来的数,再看最后一位在原数中的位置.如近似数13亿,就精确到亿位;近似数2.43万,就精确到百位.用科学记数法形式表示的近似数, 在确定精确到哪一位时,同样要把它还原成原数,再从左到右看中的最后一位在原数的什么位置上,就说这个近似数精确到哪一位.如还原成原数为369.0,最后一位“0”在原数的十分位上,所以精确到十分位.
总结：比较两个有理数大小的方法有：
（1） 根据有理数在数轴上对应的点的位置直接比较；
（2） 根据规定进行比较：两个正数；正数与零；负数与零；正数与负数；两个负数，体现了分类讨论的数学思想；
（3） 做差法：a-b>0 ⇔a>b;
（4） 做商法：a/b>1，b>0 ⇔a>b.
（5）利用绝对值比较大小
两个正数比较：绝对值大的那个数大；
两个负数比较：先算出它们的绝对值，绝对值大的反而小。
典例分析：
出租车司机小石某天下午营运全是在东西走向的人民大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下：
＋15，－3，＋14，－11，＋10，－12，＋4，－15，＋16，－18.
（1） 将最后一名乘客送到目的地时，小石距下午出发地点的距离是多少千米？
（2） 若汽车耗油量为a升/千米，这天下午汽车耗油共多少升？
分析：（1）求已知10个数的和，即得小石距下午出发地点的距离；
（2）要求耗油量，需求出汽车一共走的路程，与所行的方向无关，即求出10个数的绝对值的和，然后乘以a升即可。
注意两问的区别。
解：(1)（＋15）＋（－3）＋（＋14）＋（－11）＋（＋10）＋（－12）＋（＋4）＋（－15）＋（＋16）＋（－18）
=（15＋14＋10＋4＋16）＋【（－3）＋（－11）＋（－12）＋（－15）＋（－18）】
=59＋（－59）
=0（千米）
（2）
=118（千米）
118×a=118a(升)
答：（1）将最后一名乘客送到目的地时，小石距下午出发地点的距离是0千米，即回到出发地点；
（2）若汽车耗油量为a升/千米，这天下午汽车耗油共118a升。
典例分析：
在有关乘方的计算中，最易出现错误的是“符号问题”，解决问题的关键是准确理解幂的概念，头脑时刻保持清醒，不要随意的增减和变换符号，更不要“跳步”，严格按照运算法则进行。
解：
典例分析：
1、用科学记数法表示56420000万.
分析：需要注意以下两点：①在一些数据中会出现“万、亿”需引起重视；②科学记数法有其表示的标准形式：，其中，n为正整数。
解：56420000万=564200000000=
典例分析：
（1） 与原点距离等于4的点有几个？其表示的数是什么？
（2） 在数轴上点A表示的数是-3，与点A相距两个单位的点表示的数是什么？
分析：对于初学者，我们可以画出数轴，从数轴上观察，与原点距离等于4的点有两个，它们分别位于原点的两侧，它们所表示的数是+4和-4.千万不要忽略了原点左边的点即表示-4的点。这样第（2）问迎刃而解。
解：（1）与原点距离等于4的点有两个，它们表示的数是+4和-4.
（2）在数轴上点A表示的数是-3，与点A相距两个单位的点表示的数是-1和-5.
3、-（-3）的相反数是______。（解析：先化简-（-3），再去求出计算结果的相反数）
典例分析：
已知，求x,y的值。
分析：此题考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a的绝对值都是非负数，即。
所以，而两个非负数之和为0，则这两个数均为0，所以可求出x,y的值。
解：∵ 又
∴，即
∴
典例分析：
如果规定△表示一种运算，且a△b=，求：3△（4△）的值.
